[Book Note] Ch 3. Some Properties of the Euler Equations (1)

One-Dimensional Euler Equations

• Euler equation은 압축성 medium에 대한 body force, viscosity, heat conduction 영향을 무시함으로써 얻을 수 있음.
• Conservative와 non-conservative 수식을 활용하여 이상기체 EOS에 대한 1차원 time-dependent Euler equations를 얻을 수 있음.

 

Conservative Formulation

• Euler equation의 conservative formulation을 differential form으로 표현하면 다음과 같음. 
  $${\mathbf{U}}_t+{\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_x=0,$$$$\mathbf{U}=[\rho ,\rho u,E{]}^{\text{T}},\mathbf{F}=[\rho u,\rho u^2+p,u(E+p){]}^{\text{T}}$$
• 이를 quasi-linear form으로 표현하면 다음과 같음. $${\mathbf{U}}_t+{\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}\mathbf{U}}_x=0,\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}=\partial \mathbf{F}/\partial \mathbf{U}$$

Proposition: Homogeneity Property

• Ideal-gas EOS가 적용된 Euler equation는 *homogeneity property $\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}=\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}\mathbf{U}$를 만족함.

*Flux Vector Splitting의 numerical scheme 기반이 됨.

Proposition: Hyperbolic Equation

• Euler equation의 jacobian matrix에 대해서 eigenvalues와 right eigenvector는 다음과 같음. 
  $${\lambda }_1=u-a,{\lambda }_2=u,{\lambda }_3=u+a$$$${\mathbf{K}}^{\text{(1)}}=[1,u-a,H-ua{]}^{\text{T}},{\mathbf{K}}^{\text{(2)}}=[1,u,0.5u^2{]}^{\text{T}}$$ $${\mathbf{K}}^{(3)}=[1,u+a,H+ua{]}^{\text{T}}$$
  • Eigenvalues가 all real이고, linearly independent eigenvectors의 complete set을 형성하기 때문에 이상기체에 대한 time-dependent, one-dimensional Euler equation는 hyperbolic, strictly hyperbolic ($\because$ sound speed $a$가 양수이면 eigenvalue는 real이자 distinct).

 

Non-Conservative Formulations

• Euler equation은 conservative variables이 아닌 other variables로 표현할 수 있으며, smooth solution에 대해서는 모두 동일함. 하지만, shock wave가 포함되어 있는 경우, non-conservative로 표현된 Euler equation은 부정확한 shock solution을 도출함.
• Equation을 분석할 때는 non-conservative 식이 conservative 식보다 이점이 있음.

Primitive-Variable Formulation

• Smooth solution일 때, conservative variable 대신 primitive (or physical) variables $\mathbf{W}=[\rho ,u,p{]}^{\text{T}}$로 formulation 할 수 있음. Quasi-linear form으로 표현하면 다음과 같음.

$${\mathbf{W}}_t+{\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{W}\mathbf{)}\mathbf{W}}_x=0$$

$$\mathbf{W}=[\rho ,u,p{]}^{\text{T}}$$

$$\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{W}\mathbf{)}=\left[\begin{array}{ccc}u& \rho & 0\\ 0& u& 1/\rho \\ 0& \rho a^2& u\end{array}\right]$$

Characteristic Equations

• Primitive variable로 표현된 Euler equation의 eigenvalues와 eigenvectors는 다음과 같음.
  $${\lambda }_1=u-a,{\lambda }_2=u,{\lambda }_3=u+a$$ $${\mathbf{K}}^{(1)}={\alpha }_1[1,-a/\rho ,a^2{]}^{\text{T}},{\mathbf{K}}^{(2)}={\alpha }_2[1,0,0{]}^{\text{T}},$$ $${\mathbf{K}}^{(3)}={\alpha }_3[1,a/\rho ,a^2{]}^{\text{T}}$$ $${\mathbf{L}}^{(1)}={\beta }_1(0,1,-1/\rho a)$$ $${\mathbf{L}}^{(2)}={\beta }_2(1,0,-1/a^2)$$ $${\mathbf{L}}^{(3)}={\beta }_3(0,1,1/\rho a)$$
  • Characteristic equation은 $dx/dt={\lambda }_i$ 방향으로 ${\mathbf{L}}^{(i)}\cdot d\mathbf{W}=0$를 만족하기 때문에, 아래와 같이 전개하여 characteristic equation을 얻을 수 있음.
    $${\mathbf{L}}^{(i)}\cdot [d\rho ,du,dp{]}^{\text{T}}=0$$ $$\{\begin{array}{l}dp-\rho adu=0\text{along}dx/dt={\lambda }_1=u-a,\\ dp-a^{2}d\rho =0\text{along}dx/dt={\lambda }_2=u,\\ dp+\rho adu=0\text{along}dx/dt={\lambda }_3=u+a.\end{array}$$
  • 이 *differential relation은 characteristic direction을 따라 유효함. 

*Numerical 목적으로, 이 식들의 선형화는 Euler equation에 대한
Riemann problem을 approximately 해결하는 방법을 제시함.

Entropy Formulation

• Pressure을 entropy $s$로 표현하여, 이전의 primitive-variable formulation을 $\mathbf{W}=(\rho ,u,s{)}^{\text{T}}$로 표현할 수 있음.
  $$s=c_v\ln \frac{p}{{\rho }^{\gamma }}+C_0$$ $$p=C_1{\rho }^{\gamma }{e}^{s/c_v}$$
  • Entropy $s$는 $s_t+u{s}_x=ds/dt=0$을 만족하는데, 이는 smooth flow region에서 entropy가 particle path $dx/dt=u$를 따라서 일정하다는 것을 의미함. 따라서 particle path를 따라, isentropic law $p=C{\rho }^{\gamma }$가 성립함.
    • $C=C(s_0)$는 initial entropy $s_0$의 함수이며, flow가 smooth하면 path를 따라 일정한 값을 가짐. 만약 $C$가 flow domain에 걸쳐서 일정하다면, 이를 isentropic flow 또는 homentropic flow라고 함.
• Entropy formulation은 다음과 같이 quasi-linear form으로 표현할 수 있음.
  $${\mathbf{W}}_t+{\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{W}\mathbf{)}\mathbf{W}}_x=0$$ $$\mathbf{W}=[\rho ,u,s{]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{W}\mathbf{)}=\left[\begin{array}{ccc}u& \rho & 0\\ a^2/\rho & u& \frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial s}\\ 0& 0& u\end{array}\right]$$
  • Eigenvalues와 eigenvector는 다음과 같음. $${\lambda }_1=u-a,{\lambda }_2=u,{\lambda }_3=u+a$$ $${\mathbf{K}}^{(1)}=[1,-a/\rho ,a^2{]}^{\text{T}},{\mathbf{K}}^{(2)}=[-\partial p/\partial s,0,a^2{]}^{\text{T}},$$ $${\mathbf{K}}^{(3)}=[1,a/\rho ,0{]}^{\text{T}}$$

 

Elementary Wave Solutions of the Riemann Problem

• Riemann problem를 물리적으로는 gas dynamics에서의 shock-tube problem으로 생각할 수 있음.

• Time-dependent, one dimensional Euler equation의 solution은 3개의 characteristic fields와 관련된 3개의 waves로 이루어져 있음. 
  • 3개의 wave는 4개의 constant state $({\mathbf{U}}_{\mathbf{\text{L}}}\to {\mathbf{U}}_{\mathbf{\text{*L}}}\to {\mathbf{U}}_{\mathbf{\text{*R}}}\to {\mathbf{U}}_{\mathbf{\text{R}}})$로 분리함
    

    

  • Solution의 waves는 rarefaction waves, contact discontinuities, shock waves의 3가지 형태 중 하나임. 형태를 확인하기 위해 characteristic field ${\mathbf{K}}^{(i)},i=1,2,3$를 분석해야 함.
    • ${\mathbf{K}}^{(2)}$-characteristic field는 linearly degenerate $\to$ contact discontinuity
      • Contact wave의 경우, characteristics가 contact wave에 평행함. $${\lambda }_2({\mathbf{U}}_{\ast L})={\lambda }_2({\mathbf{U}}_{\ast R})=S_2$$
    • ${\mathbf{K}}^{(1)},{\mathbf{K}}^{(3)}$-characteristic field는 genuinely non-linear $\to$ rarefaction waves (smooth) or shock waves (discontinuities).
      
      • Rarefaction wave의 경우, eigenvalue ${\lambda }_1(\mathbf{U})$가 rarefaction wave를 왼쪽에서 오른쪽으로 지나면서 monotonically 증가함. 그리고 양단의 characteristics는 wave에서 diverge 함.
        $${\lambda }_1({\mathbf{U}}_{\mathbf{\text{L}}})\le {\lambda }_1({\mathbf{U}}_{\text{*L}})$$
      • Shock wave의 경우, characteristics가 wave로 모이며 아래의 entropy condition을 만족함. $${\lambda }_3({\mathbf{U}}_{\ast R})>S_3>{\lambda }_3({\mathbf{U}}_R)$$

 

 

 

 

Contact Discontinuities

• Euler equation의 contact discontinuity는 equation의 eigenstructure를 활용하여 분석할 수 있음. 아래의 Generalised Riemann Invariants를 통해 contact wave를 건너며 pressure와 velocity가 일정하다는 것을 알 수 있음. $$\frac{d\rho }{1}=\frac{d(\rho u)}{u}=\frac{dE}{0.5u^2}$$
  • Contact wave는 discontinuous wave이며, 이를 가로지르면서 pressure와 particle velocity는 일정하지만, density는 discontinuously jump 하고, density에 의존하는 specific internal energy, temperature, sound speed, entropy 등의 variables도 discontinuously jump함.  
• Primitive-variable formulation의 eigenvector ${\mathbf{K}}^{(2)}$를 통해서도 동일한 결과를 얻을 수 있음. $$\mathbf{W}=[\rho ,u,p{]}^{\text{T}},{\mathbf{K}}^{(2)}=[1,0,0{]}^{\text{T}}$$
  • $\rho ,u,p$의 wave jump는 eigenvector의 corresponding component에 비례함. 속도와 압력에 대해서 0의 값을 가지고, $\rho$의 jump는 non-trivial임. 

Rarefaction Waves

• Euler equation에서의 rarefaction wave는 ${\mathbf{K}}^{(1)},{\mathbf{K}}^{(3)}$ characteristic fields와 연관됨. primitive-variables formulation에 대한 eigenvector을 통해서, $\rho ,u,p$가 rarefaction wave를 지나면서 변화함을 확인할 수 있음.

$${\mathbf{K}}^{(1)}={\alpha }_1[1,-a/\rho ,a^2{]}^{\text{T}},{\mathbf{K}}^{(3)}={\alpha }_3[1,a/\rho ,a^2{]}^{\text{T}}$$

• Entropy formulation의 eigenstructure에 대한 Generalised Riemann Invariants를 통해서 아래 식을 유도할 수 있음.
  $$\{\begin{array}{l}{I}_{\text{L}}(u,a)=u+\frac{2a}{\gamma -1}=\text{constant}\\ s=\text{constant}\end{array}\text{across}{\lambda }_1=u-a,$$$$\{\begin{array}{l}{I}_{\text{R}}(u,a)=u-\frac{2a}{\gamma -1}=\text{constant}\\ s=\text{constant}\end{array}\text{across}{\lambda }_3=u+a,$$
  • Rarefaction wave는 1, 3 field와 관련된 smooth wave이며, 이를 가로지르면서 density, velocity, pressure가 변화함. Wave는 fan-type shape을 가지며, wave의 Head와 Tail에 상응하는 bouding characteristics에 의해 닫힘. 

Shock Waves

• Euler equation에서의 shock wave는 genuinely non-linear field 1, 3과 연관된 discontinuous wave이며, $\rho ,u,p$가 shock wave를 건너면서 변화함. 
  • ${\mathbf{K}}^{(3)}$ characteristic field와 그에 상응하는 wave가 constant speed $S_3$의 right-facing shock wave이라고 하면, shock 이전의 state를 ${\mathbf{W}}_{\text{R}}=({\rho }_R,u_R,p_R{)}^{\text{T}}$로, 이후 state를 ${\mathbf{W}}_{\ast }=({\rho }_{\ast },u_{\ast },p_{\ast }{)}^{\text{T}}$로 표현할 수 있음.
  • 여기서, shock speed가 0이 되도록 문제를 변환하는 것이 유용하며, 이에 따라, stationary shock에서 shock의 앞, 뒤 state도 변화하게 됨. Density와 pressure는 바뀌지 않고 그대로 유지되지만, velocity는 아래와 같이 relative velocity ${\hat{u}}_{\text{R}},{\hat{u}}_{\ast }$로 변화함.$${\hat{u}}_{\ast }=u_{\ast }-S_3,{\hat{u}}_{\text{R}}=u_{\text{R}}-S_3$$
  • Shock speed가 0인 frame에서의 Rankine-Hugoniot condition을 적용하면 다음과 같이 식을 정리할 수 있음.$${\rho }_{\ast }{\hat{u}}_{\ast }={\rho }_{\text{R}}{\hat{u}}_{\text{R}},$$ $${\rho }_{\ast }{\hat{u}}_{\ast }^2+p_{\ast }={\rho }_{\text{R}}{\hat{u}}_{\text{R}}^2+p_{\text{R}},$$ $${\hat{u}}_{\ast }({\hat{E}}_{\ast }+p_{\ast })={\hat{u}}_{\text{R}}({\hat{E}}_{\text{R}}+p_{\text{R}})$$
    • Total energy를 specific internal energy $e$로 표현하면 다음과 같음.$${\hat{u}}_{\ast }{\rho }_{\ast }[\frac{1}{2}{\hat{u}}_{\ast }^2+(e_{\ast }+p_{\ast }/{\rho }_{\ast })]={\hat{u}}_{\text{R}}{\rho }_{\text{R}}[\frac{1}{2}{\hat{u}}_{\text{R}}^2+(e_{\text{R}}+p_{\text{R}}/{\rho }_{\text{R}})]$$
    • Specific enthalpy $h$를 사용하고 식들을 조합하여 정리하면, 아래와 같이 표현할 수 있음. $${\hat{u}}_{\ast }^2=\left(\frac{{\rho }_{\text{R}}}{{\rho }_{\ast }}\right)\left[\frac{p_{\text{R}}-p_{\ast }}{{\rho }_{\text{R}}-{\rho }_{\ast }}\right]$$ $${\hat{u}}_{\text{R}}^2=\left(\frac{{\rho }_{\ast }}{{\rho }_{\text{R}}}\right)\left[\frac{p_{\text{R}}-p_{\ast }}{{\rho }_{\text{R}}-{\rho }_{\ast }}\right]$$ $$h_{\ast }-h_{\text{R}}=\frac{1}{2}(p_{\ast }-p_{\text{R}})\left[\frac{{\rho }_{\ast }+{\rho }_{\text{R}}}{{\rho }_{\ast }{\rho }_{\text{R}}}\right]$$
    • Specific internal energy $e$가 caloric equation of state로 주어지면, 아래와 같이 표현할 수 있음. $$e_{\ast }-e_{\text{R}}=\frac{1}{2}(p_{\ast }+p_{\text{R}})\left[\frac{{\rho }_{\ast }-{\rho }_{\text{R}}}{{\rho }_{\ast }{\rho }_{\text{R}}}\right]$$
  • 지금까지의 수식 전개에서는 genereal caloric EOS에 대한 어떠한 가정도 없었음.
    • Ideal caloric EOS를 가정하여, ideal gas에 적용하는 shock relations을 유도하면, density ratio ${\rho }_{\ast }/{\rho }_{\text{R}}$과 pressure ratio $p_{\ast }/p_{\text{R}}$ 사이의 유용한 관계식이 도출됨. $$\frac{{\rho }_{\ast }}{{\rho }_{\text{R}}}=\frac{\left(\frac{p_{\ast }}{p_{\text{R}}}\right)+\left(\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\right)}{\left(\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\right)\left(\frac{p_{\ast }}{p_{\text{R}}}\right)+1}$$
    • Mach number $M_{\text{R}}=u_{\text{R}}/a_{\text{R}},M_{\text{S}}=S_3/a_{\text{R}}$를 도입하여, density ratio와 pressure ratio를 표현하면 다음과 같음. $$\frac{{\rho }_{\ast }}{{\rho }_{\text{R}}}=\frac{(\gamma +1)(M_{\text{R}}-M_{\text{S}}{)}^2}{(\gamma -1)(M_{\text{R}}-M_{\text{S}}{)}^2+2}$$ $$\frac{p_{\ast }}{p_{\text{R}}}=\frac{2\gamma (M_{\text{R}}-M_{\text{S}}{)}^2-(\gamma -1)}{(\gamma +1)}$$
    • Shock speed를 pressure ratio의 함수로 표현하면 다음과 같음. $$S_3=u_{\text{R}}+a_{\text{R}}\sqrt{\left(\frac{\gamma +1}{2\gamma }\right)\left(\frac{p_{\ast }}{p_{\text{R}}}\right)+\left(\frac{\gamma -1}{2\gamma }\right)}$$
      • Shock strength가 0이 되면, pressure ratio는 1이 되기 때문에, shock speed $S_3$은 characteristic speed ${\lambda }_3=u_R+a_R$이 됨.
    • Shock wave 이전의 particle velocity $u_{\ast }$를 아래의 식과 같이, density ratio로 표현할 수 있음. $$u_{\ast }=(1-{\rho }_{\text{R}}/{\rho }_{\ast })S_3+u_{\text{R}}{\rho }_{\text{R}}/{\rho }_{\ast }$$
    • $S_1$의 속도로 전파하는 1-shock wave에 대한 분석도 3-shock wave와 동일하게 처리할 수 있음. Stationary frame of reference로 변환하면, relative velocity와 mach number는 다음과 같음. $${\hat{u}}_{\text{L}}=u_{\text{L}}-S_1,{\hat{u}}_{\ast }=u_{\ast }-S_1$$ $$M_{\text{L}}=u_{\text{L}}/a_{\text{L}},M_{\text{S}}=S_1/a_{\text{L}}$$
      • Density와 pressure ratio 관계는 다음과 같음. $$\frac{{\rho }_{\ast }}{{\rho }_{\text{L}}}=\frac{\frac{p_{\ast }}{p_{\text{L}}}+\frac{\gamma -1}{\gamma +1}}{\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\frac{p_{\ast }}{p_{\text{L}}}+1}$$
      • Left shock 전후의 density와 pressure ratios를 relative Mach number $M_{\text{L}}-M_{\text{S}}$로 표현하면 다음과 같음. $$\frac{{\rho }_{\ast }}{{\rho }_{\text{L}}}=\frac{(\gamma +1)(M_{\text{L}}-M_{\text{S}}{)}^2}{(\gamma -1)(M_{\text{L}}-M_{\text{S}}{)}^2+2}$$ $$\frac{p_{\ast }}{p_{\text{L}}}=\frac{2\gamma (M_{\text{L}}-M_{\text{S}}{)}^2-(\gamma -1)}{(\gamma +1)}$$
      • Pressure ratio로부터 shock speed $S_1$를 다음과 같이 구할 수 있음. $$M_{\text{L}}-M_{\text{S}}=\sqrt{\frac{\gamma +1}{2\gamma }\frac{p^{\ast }}{p_{\text{L}}}+\frac{\gamma -1}{2\gamma }}$$ $$S_1=u_{\text{L}}-a_{\text{L}}\sqrt{\frac{\gamma +1}{2\gamma }\frac{p^{\ast }}{p_{\text{L}}}+\frac{\gamma -1}{2\gamma }}$$
        • Shock strength가 0으로 가게 되면, $p_{\ast }/p_{\text{L}}$은 1이 되고, shock speed $S_1$는 characteristic speed ${\lambda }_1=u_{\text{L}}-a_{\text{L}}$이 됨.
      • Left shock 이전의 particle velocity는 다음과 같음. $$u_{\ast }=(1-\frac{{\rho }_{\text{L}}}{{\rho }_{\ast }})S_1+\frac{u_{\text{L}}{\rho }_{\text{L}}}{{\rho }_{\ast }}$$