Introduction
- Equation of state로 주어지는 closure condition과 함께, compressible material의 dynamics에 대한 governing equation을 위해 ① 미분방정식으로 표현되는 Euler equation, ② 열역학적 고려사항, ③ viscous diffusion, ④ heat transfer, ⑤ 적분방정식으로 표현되는 Euler equation에 대해서 각각 다룸.
Notation
- Dot product of two vectors $\mathbf{A} = \left(a_1, a_2, a_3\right)$ and $\mathbf{B} = \left(b_1, b_2, b_3\right)$ → scalar
$$
\mathbf{A \cdot B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
- Gradient operator $\nabla$를 scalar $\phi$에 적용 → vector
$$
\text{grad }\phi = \nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)
$$
- Divergence operator를 vector 에 적용 → scalar
$$
\text{div }\mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y} + \frac{\partial a_3}{\partial z}
$$
Euler Equation
- Body force, viscous stresses, heat flux를 무시한 time-dependent Euler equation (nonlinear hyperbolic conservation laws system)를 다루며, 이는 아래의 두가지 방식으로 표현 가능함.
- Primitive variables (physical variables): density $\rho$, pressure $p$, velocity $\mathbf{u}$
- *Conservative variables: mass density, momentum, total energy
*Conservative variable을 수치적으로 사용할 때 이점이 많기 때문에,
이와 관련된 수치방법(conservative methods)들이 많이 존재함.
Conservation-Law Form
- Conservation law는 conserved variable 벡터 $\mathbf{U}$와 flux 벡터 $\mathbf{F(U)}, \mathbf{G(U)}, \mathbf{H(U)}$를 사용하여 아래와 같이 표현할 수 있으며, 아래와 같이 표현되는 PDE들을 convervation laws system이라고 함.
$$ \mathbf{U}_t + \mathbf{F(U)}_x + \mathbf{G(U)}_y + \mathbf{H(U)}_z = 0 $$
$$ \mathbf{U} = \begin{bmatrix}
\rho, & \rho u, & \rho v, & \rho w, & E
\end{bmatrix}^\text{T} $$
$$ \mathbf{F} = \begin{bmatrix}
\rho u, & \rho u^2 + p, & \rho u v, & \rho u w, & u \left( E + p \right)
\end{bmatrix} $$
$$ \mathbf{G} = \begin{bmatrix}
\rho v, & \rho u v, & \rho v^2 + p, & \rho v w, & v \left( E + p \right)
\end{bmatrix} $$
$$\mathbf{H} = \begin{bmatrix} \rho w, & \rho u w, & \rho v w, & \rho w^2 + p, & w \left( E + p \right) \end{bmatrix} $$
- 또한, 위의 식은 divergence operator를 적용하여 간단하게 표현할 수 있음.
$$\rho_t + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{V} \right) = 0$$
$$\left(\rho\mathbf{V}\right)_t +\nabla \cdot \left( \rho\mathbf{V} \otimes \mathbf{V}+p\mathbf{I}\right) = 0$$
$$ E_t + \nabla \cdot \left[ \left( E + p \right) \mathbf{V} \right] = 0 $$
Thermodynamic Considerations
- Conservation law 식은 equation보다 unknown이 더 많기 때문에, closure condition이 필요함.
- Extensive properties: 질량에 비례하는 thermodynamic properties
- Intensive properties: 질량에 영향을 받지 않는 properties
※ Extensive properties를 질량으로 나누면 specific value (i.e., intensive properties)가 됨.
Equations of State
- 열역학적 평형상태에 있는 system은 pressure와 specific volume으로 표현될 수 있음. 각 열역학적 평형 상태들은 $p-v$ 평면에서 선으로 표현됨.
- 온도에 따라 구분한 선을 $p-v-T$ 시스템이라고 하며, thermal EOS를 통해 변수간의 관계를 얻을 수 있음.
$$ \text{Thermal EOS:}\quad T=T\left( p,v \right); \quad p=p\left( T,v \right) $$ $$ \Rightarrow \text{Thermally ideal gas:}\quad T=\frac{pv}{R} $$ - Euler equation은 internal energy $e$를 포함하기 때문에 caloric EOS가 필요함.
$$ \text{Caloric EOS:}\quad e=e\left( p,v \right) $$ $$ \Rightarrow \text{Calorically ideal gas:}\quad e=\frac{pv}{\gamma - 1} = \frac{p}{\rho\left( \gamma -1 \right)} $$
- 온도에 따라 구분한 선을 $p-v-T$ 시스템이라고 하며, thermal EOS를 통해 변수간의 관계를 얻을 수 있음.
Variables
| Variables | Equation |
| Entopry $(s)$ | $ Tds=de+pdv$ |
| Specific Enthalpy $(h)$ | $h=e+pv$ |
| Helmholtz free energy $(f)$ | $ f=e-Ts$ |
| Volume expansivity $(\alpha)$ | $ \alpha=\frac{1}{v}\left(\frac{ \partial v }{ \partial T }\right)_p $ |
| Isothermal compressibility $(\beta)$ | $ \beta = -\frac{1}{v} \left( \frac{ \partial v }{ \partial p } \right)_T $ |
| Heat capacity at constant pressure $(c_p)$ | $ c_p=\frac{dh}{dT} $ |
| Heat capacity at constant volume $(c_v)$ | $ v = \frac{de}{dT}$ |
| Speed of sound $(a)$ | $ a=\sqrt{\left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_s}$ |
Ideal Gases
- Ratio of specific heats $\gamma$는 $\gamma = c_p / c_v$로 정의되며, calorically ideal gas에서는 일정한 값을 가지는 반면, thermally ideal gas에서는 온도의 함수로 표현됨.
Covolume & van der Waal Gases
- Covolume EOS (i.e., Nobel-Abel EOS) $p=(v-b)=RT$는 높은 압력에서의 dense gas과 같이, molecule이 차지하는 부피를 무시할 수 없는 경우에 적용됨.
- $b$는 covolume을 의미하며, constant값이거나 density의 함수임.
- Molecules간의 attraction force를 추가적으로 고려하면, $(p + c/v^2)(v-b)=RT$로 표현되는 van der Waals EOS가 됨.
Viscous Stresses
- $\text{S}$로 표현되는, 유체 내의 stress는 thermodynamic pressure와 viscous stress의 영향으로 발생함.
$$ \text{S} = -p\text{I} + \Pi $$- $p\text{I}$: 압력으로 인한 spherically symmetric tensor
- $\Pi$: viscsou stress tensor
- Viscous stress $\Pi$를 정의할 때, *Newtonain approximation을 사용할 수 있음. $$ \Pi = 2 \eta \text{D} + \left( \eta_b -\frac{2}{3}\eta \right) \left( \text{div}\textbf{V} \right)\text{I} $$
*Newtonian 가정은 viscous tensor $\Pi$와 속도의 미분으로 표현되는
deforatmion tensro $\text{D}$가 linear하고 homogeneous하다는 것을 전제로 함.
- 식에 포함되어 있는 shear viscosity coefficient $\eta$와 bulk viscosity coefficient $\eta_b$는 실험이나 molecular theory로부터 얻을 수 있음.
- Shear viscosity coefficient는 *고온의 상황이 아니라면, 압력보다 온도에 많이 의존함. 이는 Sutherland formula를 통해서 표현됨.
$$
\eta = C_1 \left[ 1+\frac{C_2}{T} \right]^{-1}\sqrt{T}
$$
*아주 높은 온도에서는 dissociation과 ionisation이 발생하기 때문에
shear viscosity coefficient가 온도뿐만 아니라 압력에도 의존
- Viscous tensor를 포함한 Navier-Stokes equation은 differential conservation law 형태로 표현됨.
$$
\left(\rho \mathbf{V}\right)_t + \nabla \cdot \left( \rho\mathbf{V} \otimes \mathbf{V} + p\text{I}- \Pi \right)=0
$$
Heat Conduction
- Energy flux vector $\mathbf{Q}=\left(q_1,q_2,q_3\right)^\text{T}$는 1) 온도 gradients로 인한 heat flow, 2) diffusion process, 그리고 3) radiation으로 부터 기인하지만, 1)의 영향만 고려하여 temperature gradient로 발생하는 heat flux vector와 동일하다고 간주함.
- Viscous stress가 velocity vector $\mathbf{V}$의 gradient와 관련있는 것처럼, heat flux는 temperature gradient와 관련이 있고, 이는 Fourier's heat conduction law를 통해 표현됨.
- $\kappa$는 thermal conductivity coefficient이며, shear viscosity coefficient $\eta$처럼 temperature에 의존함.
$$ \mathbf{Q}=-\kappa \nabla T $$ - $\kappa$와 $\eta$의 관계는 specific heat at constant pressure $c_p$가 일정할 때, 무차원 수 Prandtl number로 표현됨.
\[ P_\text{r} = \frac{c_p \eta}{\kappa}; \quad P_\text{r} = \frac{4\gamma}{9\gamma - 5} \]
- $\kappa$는 thermal conductivity coefficient이며, shear viscosity coefficient $\eta$처럼 temperature에 의존함.
- Heat conduction이 포함된 Navier-Stokes equation은 아래와 같음.
\[ \mathbf{U}_t + \mathbf{F}^\mathrm{a}_x + \mathbf{G}^\mathrm{a}_y + \mathbf{H}^\mathrm{a}_z = \mathbf{F}^\mathrm{d}_x + \mathbf{G}^\mathrm{d}_y + \mathbf{H}^\mathrm{d}_z \]- $ \mathbf{F}^\mathrm{a}_x, \mathbf{G}^\mathrm{a}_y, \mathbf{H}^\mathrm{a}_z $는 inviscid flux (advection)
- $\mathbf{F}^\mathrm{d}_x, \mathbf{G}^\mathrm{d}_y, \mathbf{H}^\mathrm{d}_z$는 viscosity와 heat conduction으로부터 발생하는 flux vectors (diffusion)
- Advection, viscous diffusion, heat conduction을 *new flux로 합치게 되면, conservation laws의 homogeneous system처럼 표현할 수 있음.
\[ \mathbf{U}_t + \mathbf{F}_x + \mathbf{G}_y + \mathbf{H}_z = 0, \] \[ \mathbf{F} = \mathbf{F}^\mathrm{a} - \mathbf{F}^\mathrm{d}, \quad \mathbf{G} = \mathbf{G}^\mathrm{a} - \mathbf{G}^\mathrm{d}, \quad \mathbf{H} = \mathbf{H}^\mathrm{a} - \mathbf{H}^\mathrm{d}. \]
*Flux vector의 numerical approximation을 정의할 때,
advection, viscosity, heat conduction을 합쳐서 활용할 때만 적용
Integral Form of the Equation
- Differential equation은 flow variables이 smoothness하다는 것을 전제로 하기 때문에, discontinuous solution (e.g., shock wave, contact surface)이 있을 때 활용하지 못함. 따라서, integral form으로 변환할 필요가 있음.
Time Derivatives
- 물리량 $\phi$을 시간에 대해서 미분하면 다음과 같이 표현할 수 있음.
$$ \frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{V}\cdot\text{grad}\phi $$- $D/Dt$: substantial derivative 또는 material derivative
- $\partial \phi / \partial t$: local rate of change of $\phi$
- $\mathbf{V}\cdot\text{grad}\phi$: convective rate of change
- 물리량을 control volume $V$에서 적분하면 다음과 같음.
$$ \psi(t)=\iiint_V \phi(x,y,z,t) dV $$ $$ \frac{D\psi}{Dt} = \iiint_V \frac{\partial \phi}{\partial t} dV + \iint_A \left(\mathbf{n} \cdot \phi \mathbf{V} \right) dA$$ $$ \text{General form:}\quad \frac{D \psi}{Dt}=\iiint_V \frac{\partial \Phi}{\partial t}dV + \iint_A \Phi\left(\mathbf{n}\cdot\mathbf{V}\right) dA$$- 첫번 째 항: $\psi(t)$의 시간변화율에 대한 $\phi$의 local contribution
- 두번 째 항: fluid velocity $\mathbf{V}$로 움직이는 surface motion의 contribution
- Gauss's theorem을 통해, surface integral을 volume integral로 변환할 수 있음.
$$ \iint_A \left(\mathbf{n}\cdot\Phi\right)dA = \iiint_V \text{div}\Phi dV $$
Conservation of Mass
- $\phi$를 $\rho$로 설정하면 mass conservation law를 integral form으로 표현할 수 있음.
$$ \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t}dV = - \iint_A \mathbf{n} \cdot \left( \rho\mathbf{V} \right) dA$$- $\psi(t)$: volume $V$안의 total mass
- $D\psi/Dt=0$ : mass는 생성되거나 소멸되지 않고, surface를 통해 mass flow가 들어오지 않음.
- $V$가 시간 $t$에 의존하지 않는 고정된 control volume이라면, 아래와 같이 표현할 수 있음.
$$ \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV = \frac{d}{dt}\iiint_V \rho dV $$ $$ \Rightarrow \frac{d}{dt}\iiint_V \rho dV = - \iint_A \mathbf{n} \cdot \left(\rho\mathbf{V}\right) dA$$- Left term: volume에 둘러쌓인 mass의 시간에 대한 변화율
- Right term: net mass inflow
- 따라서, mass는 boundary를 통해 들어오는 mass flow로만 변화함.
- Flow variables이 충분히 smooth하다고 가정하면, integral form을 다시 differential form으로 변화할 수 있음. 이를 위해 다음과 같이 Gauss's theorem을 적용함.
$$ \iint_A \mathbf{n} \cdot \left(\rho \mathbf{V}\right) dA = \iiint_V \text{div}\left(\rho \mathbf{V}\right)dV $$
$$ \Rightarrow \iiint_V \left[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}\left(\rho\mathbf{V}\right)\right] dV = 0 $$
Conservation of Momentum
- $\phi$를 $\rho \mathbf{V}$로 설정하면 total momentum을 얻을 수 있으며, total force는 surface force $f_S$와 volume force $f_V$를 통해 표현할 수 있음.
$$ \psi(t)=\iiint_V \rho \mathbf{V} dV $$ $$ f_S = \iint_A \mathbf{S} dA; \quad f_V = \iiint_V \rho \mathbf{g} dV $$- $\mathbf{g}$는 specific volume-force vector로 inertial force, gravitational force 등을 나타냄.
- $\mathbf{S}$는 stress vector로 *stress tensor $\text{S}$를 활용해 $\mathbf{S} = \mathbf{n} \cdot \text{S}$로 표현할 수 있음.
*Stress tensor는 압력에 의한 spherically symmetric part $-p\mathbf{I}$와 viscous part $\Pi$로 나눌 수 있음.
- *Newton's law를 적용하면 아래와 같음.
$$ \frac{D\psi}{Dt} = f_S + f_V $$ $$ \iiint_V \frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{V}) = - \iint_A \mathbf{V}(\mathbf{n}\cdot \rho \mathbf{V}) dA + f_S + f_V $$ $$ \frac{d}{dt}\iiint_V (\rho \mathbf{V}) dV = - \iint_A \left[ \mathbf{V}(\mathbf{n}\cdot \rho \mathbf{V}) + p\mathbf{n} - \mathbf{n}\cdot \Pi \right] dA + \iiint_V \rho \mathbf{g} dV$$- 운동량의 시간에 대한 변화율은 net momentum inflow과 surface, volume force로부터 기인함.
*Momentum의 시간에 대한 변화율은 volume $V$에 작용하는 힘과 같음.
- Mass conservation처럼, Gauss's theorem을 적용하여 미분방정식으로 변환할 수 있음.
Conservation of Energy
- $\phi$를 $E$로 설정하면 total energy를 얻을 수 있으며, total energy의 시간에 대한 변화율은 작용하는 힘에 의한 일과 energy influx의 합과 같음.
$$ \psi(t) = \iiint_V E dV $$ $$ E_\text{surf} = - \iint_A p(\mathbf{V}\cdot \mathbf{n})dA + \iint_A \mathbf{V} \cdot (\mathbf{n}\cdot\Pi) dA $$ $$ E_\text{volu} = \iiint_V \rho(\mathbf{V} \cdot \mathbf{g}) dV $$ $$ E_\text{infl} = -\iint_A (\mathbf{n}\cdot\mathbf{Q}) dA $$- $E_\text{surf}$: 압력에 의한 일과 viscous stress에 의한 일
- $E_\text{volu}$: volume force에 의한 일
- Energy flow vector $\mathbf{Q}$를 활용해 energy influx를 표현할 수 있음.
- Energy balance equation는 다음과 같음.
$$ \frac{D\psi}{Dt} = E_\text{surf} + E_\text{volu} + E_\text{infl} $$
$$ \frac{D\psi(t)}{Dt} = \iiint_V \frac{\partial}{\partial t}E dV + \iint_A (\mathbf{n}\cdot E \mathbf{V})dA $$
\begin{align} \frac{d}{dt} \iiint_V E \, dV &= - \iint_A \Big[ \mathbf{n} \cdot (E \mathbf{V} + p \mathbf{V} + \mathbf{Q}) - \mathbf{V} \cdot (\mathbf{n} \cdot \Pi) \Big] \, dA \notag \\ &\quad + \iiint_V \rho (\mathbf{V} \cdot \mathbf{g}) \, dV \end{align}
- Mass and momentum conservation처럼, Gauss's theorem을 적용하여 미분방정식으로 변환할 수 있음.