[Book Note] Ch 3. Some Properties of the Euler Equations (2)

Multi-Dimensional Euler Equations

• 3차원의 convervation-law를 differential form으로 표현하면 다음과 같음.
  $${\mathbf{U}}_t+{\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_x+{\mathbf{G}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_y+{\mathbf{H}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_z=0$$ $$\mathbf{U}=[\rho ,\rho u,\rho v,\rho w,E{]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{F}=[\rho u,\rho u^2+p,\rho uv,\rho uw,u(E+p){]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{G}=[\rho v,\rho uv,\rho v^2+p,\rho vw,v(E+p){]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{H}=[\rho w,\rho uw,\rho vw,\rho w^2+p,w(E+p){]}^{\text{T}}$$
• Conservation laws의 integral form은 다음과 같음.
  $$\frac{d}{dt}{\iiint }_V\mathbf{U}dV+{\iint }_A\mathcal{H}\cdot \mathbf{n}dA=0$$
  • 위의 식은 volume $V$ 안 $\mathbf{U}$의 시간 변화율은 control volume의 boundary $A$를 통해서 들어오는 total flux에만 의존한다는 것을 의미함. Finite volume method는 이 방정식에 기반함.

 

Two-Dimensional Equations in Coservative Form

• 2차원의 Euler equation을 differential conservative form으로 표현하면 다음과 같음.
  $${\mathbf{U}}_t+{\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_x+{\mathbf{G}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_y=0$$ $$\mathbf{U}=[\rho ,\rho u,\rho v,E{]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{F}=[\rho u,\rho u^2+p,\rho uv,u(E+p){]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{G}=[\rho v,\rho uv\rho v^2+p,v(E+p){]}^{\text{T}}$$
  • Flux $\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}$에 해당하는 Jacobian matrix의 eigenvalues와 right eigenvectors는 다음과 같음. $${\lambda }_1=u-a,{\lambda }_2={\lambda }_3=u,{\lambda }_4=u+a$$ $${\mathbf{K}}^{(1)}=[1,u-a,v,H-au{]}^{\text{T}}{\mathbf{K}}^{(2)}=[1,u,v,0.5{\mathbf{V}}^2{]}^{\text{T}}$$ $${\mathbf{K}}^{(3)}=[0,0,1,v{]}^{\text{T}}{\mathbf{K}}^{(4)}=[1,u+a,v,H+ua{]}^{\text{T}}$$

Rotational Invariance

• Euler equation의 rotational invariance 특성을 바탕으로, Cartesian direction에 놓이지 않는 domain을 처리할 수 있음.
  • 2차원에서의 surface $A$에 수직인 outward unit vector $\mathbf{n}$은 다음과 같이, normal vector $\mathbf{n}$와 x축과의 각도인 $\theta$를 활용하여 다음과 같이 표현할 수 있음. $$\mathbf{n}\equiv (n_1,n_2)\equiv (\cos \theta ,\sin \theta )$$
  • 따라서, 아래의 surface integral의 integrand는 다음과 같이 표현할 수 있음. $$\frac{d}{dt}{\iiint }_V\mathbf{U}dV+{\iint }_A(\mathbf{F},\mathbf{G})\cdot \mathbf{n}dA=0$$ $$(\mathbf{F},\mathbf{G})\cdot \mathbf{n}=\cos \theta \mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}+\sin \theta \mathbf{G}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}$$

Proposition: Rotational Invariance

• 2차원 Euler equation은 모든 angles $\theta$에 대해서 다음의 rotational invariance property를 만족함. 여기서 $\mathbf{T}=\mathbf{T}(\theta )$는 rotation matrix 임. $$\cos \theta \mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}+\sin \theta \mathbf{G}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}={\mathbf{T}}^{\text{-1}}\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{TU}\mathbf{)}$$ $$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta & 0\\ 0& -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Def. Hyperbolicity in Time

• 모든 admissible state $\mathbf{U}$과 real angle $\theta$에 대해서 matrix $\mathbf{A}(\mathbf{U},\theta )=\cos \theta \mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}+\sin \theta \mathbf{B}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}$가 diagonalisable 하면, 해당 system은 time에서 hyperbolic 함.
• 따라서, two-dimensional Euler equations는 시간 domain에서 hyperbolic 함. (증명 생략)

Proposition: Types of Characteristic Fields

• $i=1,4$의 characteristic fields는 genuinely non-linear이고, $i=2,3$은 linearly degenerate임.
• Riemann problem의 맥락에서, 2와 3 waves를 거쳐 pressure와 normal velocity component $u$는 constant임. Field 2는 contact discontinuity와 관련이 있고, 이를 거쳐서 density가 불연속적으로 jump함. Field 3은 shear wave와 관련 있으며, 이를 거쳐서 tangential velocity component가 불연속적으로 jump함. 1과 4 characteristic fields는 shock wave와 rarefaction wave와 관련 있음.

 

Three-Dimensional Equations in Conservative Form

Eigenstructure

$${\mathbf{U}}_t+{\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_x+{\mathbf{G}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_y+{\mathbf{H}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_z=0$$

• Flux $\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}$에 해당하는 Jacobian matrix의 eigenvalues와 right eigenvectors는 다음과 같음. $${\lambda }_1=u-a,{\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=u,{\lambda }_5=u+a$$ $$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 1\\ u-a& u& 0& 0& u+a\\ v& v& 1& 0& v\\ w& w& 0& 1& w\\ H-ua& 0.5{\mathbf{V}}^2& v& w& H+ua\end{array}\right]$$

Proposition: Rotational Invariance

• Time-dependent three dimensional Euler equation은 rotationally invariant이므로 모든 angles ${\theta }^{(y)},{\theta }^{(z)}$에 대해서 다음의 식을 만족함. $$\cos {\theta }^{(y)}\cos {\theta }^{(z)}\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}+\cos {\theta }^{(y)}\sin {\theta }^{(z)}\mathbf{G}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}+\sin {\theta }^{(y)}\mathbf{H}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}={\mathbf{T}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{TU}\mathbf{)}$$
  • $\mathbf{T}=\mathbf{T}({\theta }^{(y)},{\theta }^{(z)})$는 rotation matrix이며, 두개의 rotation matrices의 product 임. $$\mathbf{T}=\mathbf{T}({\theta }^{(y)},{\theta }^{(z)})={\mathbf{T}}^{(y)}{\mathbf{T}}^{(z)}$$

 

Three-Dimensional Primitive Variable Formulation

Proposition: Primitive Variable

• 3차원 time-dependent Euler equation도 primitive variables $\mathbf{W}=[\rho ,u,v,w,p{]}^{\text{T}}$로 표현할 수 있음. $${\rho }_t+u{\rho }_x+v{\rho }_y+w{\rho }_z+\rho (u_x+v_y+w_z)=0,$$ $$u_t+u{u}_x+v{u}_y+w{u}_z+1/\rho p_x=0$$ $$v_t+u{v}_x+v{v}_y+w{v}_z+1/\rho p_y=0$$ $$w_t+u{w}_x+v{w}_y+w{w}_z+1/\rho p_z=0$$ $$p_t+u{p}_x+v{p}_y+w{p}_z+\rho a^2(u_x+v_y+w_z)=0.$$

Proposition: Eigenvalues and Eigenvectors

$${\lambda }_1=u-a,{\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=u,{\lambda }_5=u+a$$

$${\mathbf{K}}^{(1)}=[\rho ,-a,0,0,\rho a^2{]}^{\text{T}}{\mathbf{K}}^{(2)}=[1,0,v,w,0{]}^{\text{T}}{\mathbf{K}}^{(3)}=[\rho ,0,1,w,0{]}^{\text{T}}$$

$${\mathbf{K}}^{(4)}=[\rho ,0,v,1,0{]}^{\text{T}}{\mathbf{K}}^{(5)}=[\rho ,a,0,0,\rho a^2{]}^{\text{T}}$$

 

The Split Three-Dimensional Riemann Problem

• 대부분의 upwind method를 통해, 2차원 또는 3차원 Euler equation을 풀 때, split Riemann problem의 solution이 필요함. *$x$-split 3차원 Riemann problem은 다음과 같음. $${\mathbf{U}}_t+{\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}}_x=0,$$ $$\mathbf{U}(x,0)={\mathbf{U}}^{(0)}(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathbf{U}}_{\text{L}},& \text{if }x<0,\\ {\mathbf{U}}_{\text{R}},& \text{if }x>0.\end{array}$$ $$\mathbf{U}=[\rho ,\rho u,\rho v,\rho w,E{]}^{\text{T}}$$ $$\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{U}\mathbf{)}=[\rho u,\rho u^2+p,\rho uv,\rho uw,u(E+p){]}^{\text{T}}$$
  • Star region에서의 middle wave를 거쳐서 pressure와 normal particle velocity는 constant 함. 여기서, middle wave에는 ${\lambda }_3={\lambda }_4=u$와 관련된 새로운 characteristic fields가 존재하는 데, 이 shear wave를 가로질러 tangential velocity component $v$와 $w$가 불규칙하게 변함. (이러한 tangential velocity components는 일부 approximate Riemann solvers에 의해 부정확하게 modeling 됨.)
  • 1차원 case와 동일하게, 1과 5의 characteristic fields는 genuinely non-linear이며, 이는 rarefactions과 shock wave와 관련됨. 1과 5 rarefaction or shock waves에 대한 Generalised Riemann Invariants를 통해 tangential velocity components $v$와 $w$의 변화가 없음을 확인할 수 있음.

*Split 3차원 방정식에 대한 Riemann problem solution을 찾는 것은
1차원 Riemann problem의 solution을 찾는 것과 본질적으로 동일함. 

 

 

Conservative vs. Non-Conservative Formulations

• Smooth solution 가정 하에서, conservative와 non-conservative formulations은 다르지 않음 (not unique).
• Conservative formulations은 주의 깊게 분석해야 할 필요가 있는데, 순전히 수학적 관점에서만 conservative 일 수 있기 때문임. 따라서, 보존되는 quantities가 무엇인지 확인하고, 물리적으로 타당한지 판단해야 함.

※ Shock wave가 있을 때, 순전히 수학적으로만 conervative 한 formulations은
wrong shock speed를 야기하고, 따라서 wrong solutions을 만들어 냄.

 

One-dimensional shallow water

•  Mass와 momentum에 대한 물리적 conservation laws는 다음과 같이 표현할 수 있음. $${\left[\begin{array}{c}\varphi \\ \varphi u\end{array}\right]}_t+{\left[\begin{array}{c}\varphi u\\ \varphi u^2+\frac{1}{2}{\varphi }^2\end{array}\right]}_x=0$$
• Smooth solution 가정하에서, 다음과 같은 식 전개를 통해 new conservation-law form을 유도할 수 있음. $${\varphi }_t+u{\varphi }_x+\varphi u_x=0$$ $$u_t+u{u}_x+{\varphi }_x=0$$ $${\left[\begin{array}{c}\varphi \\ u\end{array}\right]}_t+{\left[\begin{array}{c}\varphi u\\ \frac{1}{2}{u}^2+\varphi \end{array}\right]}_x=0$$
  • 위의 system은 수학적으로 보존되며, mass conservation과 particle speed conservation을 표현하지만, 물리적으로는 보존되지 않음 (shock wave가 존재할 때 잘못된 solution을 야기).

Proposition: Shock Wave Solution

• Conventional conservative form에 대한 right-facing shock wave solution은 다음과 같음. $$S=u_{\text{R}}+Q/{\varphi }_{\text{R}}$$ $$Q={[\frac{1}{2}({\varphi }_{\ast }+{\varphi }_{\text{R}}){\varphi }_{\ast }{\varphi }_{\text{R}}]}^{\frac{1}{2}}$$
• New conservative form에 대한 right-facing shock wave solution은 다음과 같음. $$\hat{S}=u_{\text{R}}+\hat{Q}/{\varphi }_{\text{R}}$$ $$\hat{Q}={\left[\frac{2}{{\varphi }_{\ast }+{\varphi }_{\text{R}}}\right]}^{\frac{1}{2}}{\varphi }_{\ast }{\varphi }_{\text{R}}$$
  • Shock wave가 trivial 할 때만 $({\varphi }_{\ast }\equiv {\varphi }_{\text{R}})$, $S$ 와 $\hat{S}$가 동일함. 일반적으로 $\hat{S}\le S$이기 때문에, new conservation laws의 shock solution은 conventional conservation laws의 shock solution보다 느림. 또한, new conservation laws는 non-unique 함.